Den här lektionen handlar om hur vi matematiskt kan beskriva harmonisk svängningsrörelse. Videon går igenom hur vi matematiskt kan härleda funktioner som beskriver position (elongation), hastighet och acceleration hos ett objekt som utför en harmonisk svängningsrörelse. Vi sammanfattar dessa samband nedan:
Elongation (position), hastighet och acceleration:
$y\left(t\right)=Asin\left(\text{ω}t\right)$()=(ω)
$v=y&#;\left(t\right)=\text{ω}Acos\left(\text{ω}t\right)$=&#;()=ω(ω)
$a=y&#;\left(t\right)=-\text{ω}^2Asin\left(\text{ω}t\right)=-\text{ω}^2y$=&#;()=−ω2(ω)=−ω2
Eftersom $-1\le\sin\left(\text{ω}t\right)\le1$−1≤sin(ω)≤1 och $-1\le\cos\left(\text{ω}t\right)\le1$−1≤cos(ω)≤1 så får vi även maxvärden för position, hastighet och acceleration som:
$y_{max}=A$=
$v_{max}=\text{ω}A$=ω
$a_{max}=\text{ω}^2A$=ω2
Vinkelhastighet för massa på vertikal fjäder
$\text{ω}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ω=√
Exempel
Bosse hänger en liten julstjärna som väger $$ g i ena änden på en fjäder. Han sätter sedan julstjärnan i svängning genom att dra ut fjädern en bit och sedan släppa. Han uppskattar avståndet mellan det övre och det nedre vändläget till $20$20 cm och mäter tiden d
Faktorer som påverkar temperaturen
Ett tak eller en fasad kan utsättas för mycket stora och växlande temperaturer under såväl ett enskilt dygn som under ett helt år.
Temperaturen beror av flera olika faktorer där de viktigaste är:
- lufttemperatur
- solinstrålningens intensitet
- vindhastigheten
- ytans förmåga att avleda värme
- takets eller ytterväggens värmemotstånd och värmekapacitet
För dimensionering av största rörelsemån, plåtlängder och fästdon är det främst extremvärdena för temperaturskillnaderna som är av intresse. De största skillnaderna förekommer sällan men det är trots allt dessa som är grunden för vilken rörelsemån som till exempel en plåttäckning måste ha mot en ränndal, skorsten eller annat hinder. Risken för utmattning och rörelseskador är stor även om rörelsen är mindre men sker snabbt och ofta. Ett åskregn under en het sommardag kan innebära att plåtens temperatur snabbt sänks från + 75 &#; + 80 °C till + 15 &#; + 20 °C.
Den största temperaturskillnaden per dygn uppnås under klara sommardygn med stark solinstrålning under dagen och kraftig nattutstrålning.
Största temperaturskillnaden under kortare intervall fås i gryningen eller skymningen eller ibland i
Temperaturrörelser
Alla material krymper eller utvidgas vid temperaturförändringar. Storleken på dessa rörelser beror dels på materialet dels på den uppkomna temperaturskillnaden.
För att bestämma storleken på rörelserna måste hänsyn tas till materialets längdutvidgningskoefficient.
Längdutvidgningskoefficienten anges som den rörelseändring som uppstår vid 1 °C temperaturskillnad.
Längdförändringen &#; Dl &#; kan bestämmas med följande samband:
Dl = L x a x (t2 &#; t1) = Dl = L x a x Dt
(Formel 1)
där
L = plåtens längd
α = den termiska längdutvidgningskoefficienten
t2 = dimensionerande plåttemperatur
t1 = plåtens temperatur vid läggningstillfället.
| Material | Längutvidgningskoefficient α °C-1 | Längdutvidgning per m vid °C temperaturskillnad |
| Aluminium | 23 x 10-6 | 2,3 mm |
| Bly | 29 x 10-6 | 2,9 mm |
| Koppar | 17 x 10-6 | 1,7 mm |
| Mässing | 19 x 10-6 | 1,9 mm |
| Olegerat stål | 12 x 10-6 | 1,2 mm |
| Rostfritt stål | 16 x 10-6 | 1,6 mm |
| Titanzink | 22 x 10-6 | 2,2 mm |
Tabell Längdutvidgningskoefficient för olika metaller. De värden som anges avser det temperaturintervall som kan förekomma på tak och fasader.
. .